Ciclo Trigonométrico: ângulos em um círculo de raio 1
O ciclo trigonométrico estende seno e cosseno para qualquer ângulo — não só os do triângulo retângulo. É a base das funções trigonométricas.
O círculo unitário
O círculo trigonométrico (ou unitário) é um círculo de raio 1 centrado na origem de um plano cartesiano. Para cada ângulo θ medido a partir do eixo positivo x (sentido anti-horário), existe um ponto P = (x, y) sobre o círculo.
Por definição: cos(θ) = x e sen(θ) = y. Como o raio é 1, sempre temos a identidade fundamental: sen²(θ) + cos²(θ) = 1.
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Os quatro quadrantes e os sinais
O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes. O sinal de seno e cosseno depende do quadrante onde o ângulo termina.
- 1º quadrante (0° a 90°): sen > 0 e cos > 0. Tangente > 0.
- 2º quadrante (90° a 180°): sen > 0 e cos < 0. Tangente < 0.
- 3º quadrante (180° a 270°): sen < 0 e cos < 0. Tangente > 0.
- 4º quadrante (270° a 360°): sen < 0 e cos > 0. Tangente < 0.
- Mneumônico: Todos os Santos Comem Torta — todos positivos, só seno, só cosseno, só tangente.
Ângulos maiores que 360° e ângulos negativos
Ângulos maiores que 360° completam voltas extras: sen(390°) = sen(30°) = 0,5, pois 390° = 360° + 30°. O círculo é periódico — após uma volta completa, os valores se repetem.
Ângulos negativos percorrem o círculo no sentido horário: sen(-30°) = -sen(30°) = -0,5 e cos(-30°) = cos(30°) = sqrt(3)/2. Seno é uma função ímpar; cosseno é uma função par.
Relações de redução
Qualquer ângulo pode ser reduzido a um ângulo agudo usando relações de redução.
Exemplo: sen(150°) = sen(180° - 30°) = sen(30°) = 0,5. cos(150°) = -cos(30°) = -sqrt(3)/2.
- sen(180° - θ) = sen(θ), cos(180° - θ) = -cos(θ)
- sen(180° + θ) = -sen(θ), cos(180° + θ) = -cos(θ)
- sen(360° - θ) = -sen(θ), cos(360° - θ) = cos(θ)
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