Geometria Analítica Básica: coordenadas e distâncias

O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares: o eixo horizontal (eixo x, ou eixo das abscissas) e o eixo vertical (eixo y, ou eixo das ordenadas). O ponto onde eles se cruzam é a origem, representada por (0, 0).

Qualquer ponto no plano é identificado por um par ordenado (x, y): o primeiro número indica a posição horizontal, o segundo a posição vertical. Por exemplo, o ponto (3, -2) está 3 unidades à direita e 2 unidades abaixo da origem.

Dados dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a distância entre eles é calculada pelo teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas. A fórmula é: d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Exemplo: distância entre A(1, 2) e B(4, 6). d = sqrt((4-1)² + (6-2)²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5. No CalcSim, calcule: sqrt((4-1)^2 + (6-2)^2).

O ponto médio M entre A e B tem coordenadas iguais à média aritmética de cada eixo: M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2). Para A(1, 2) e B(4, 6): M = (2,5; 4).

Toda reta não vertical pode ser escrita na forma y = mx + b, onde m é a inclinação (coeficiente angular) e b é o intercepto no eixo y (o valor de y quando x = 0).

A inclinação m indica o quanto y varia para cada unidade de variação em x. m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Se m > 0, a reta sobe da esquerda para a direita. Se m < 0, ela desce. Se m = 0, a reta é horizontal.

Exemplo: encontrar a equação da reta que passa por (2, 3) e (5, 9). Inclinação: m = (9 - 3) / (5 - 2) = 6 / 3 = 2. Substituindo em y = 2x + b com o ponto (2, 3): 3 = 2 x 2 + b → b = -1. Equação: y = 2x - 1.

A inclinação m pode ser lida como tg(θ), onde θ é o ângulo que a reta forma com o eixo x positivo. Se m = 1, então θ = 45°. Se m = sqrt(3) ≈ 1,732, então θ = 60°.

Na prática, a inclinação aparece em análise de gráficos (crescimento de vendas, velocidade em gráficos de física) e em problemas de engenharia (declividade de terrenos e rampas). Uma rampa com inclinação 0,1 sobe 1m a cada 10m horizontais — uma inclinação de 10%.