Lei dos Cossenos: generalizando o teorema de Pitágoras
A Lei dos Cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo. Quando o ângulo é 90°, ela se reduz a a² = b² + c².
A fórmula e a conexão com Pitágoras
A Lei dos Cossenos afirma: a² = b² + c² - 2bc x cos(A), onde a é o lado oposto ao ângulo A, e b e c são os outros dois lados.
Quando A = 90°, cos(90°) = 0, e a fórmula se torna a² = b² + c² — exatamente o teorema de Pitágoras. A Lei dos Cossenos é uma generalização do teorema para qualquer ângulo.
- a² = b² + c² - 2bc x cos(A) — acha o lado a conhecendo b, c e A
- b² = a² + c² - 2ac x cos(B) — acha o lado b conhecendo a, c e B
- c² = a² + b² - 2ab x cos(C) — acha o lado c conhecendo a, b e C
🧮 Teste você mesmo — CalcSim
Quer mais recursos? Baixar app CalcSim IA
Quando usar a Lei dos Cossenos
Use a Lei dos Cossenos quando você conhece: três lados (LLL) — para achar qualquer ângulo, ou dois lados e o ângulo entre eles (LAL) — para achar o terceiro lado.
- LLL: cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) para achar o ângulo A.
- LAL: aplique a fórmula direta para achar o terceiro lado.
- Após resolver com Lei dos Cossenos, use Lei dos Senos para os demais elementos.
Exemplo 1: três lados conhecidos (LLL)
Triângulo com a = 7, b = 5, c = 6. Qual é o ângulo A (oposto ao lado 7)?
cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) = (25 + 36 - 49) / (2 x 5 x 6) = 12 / 60 = 0,2.
A = arccos(0,2) ≈ 78,46°. No CalcSim (modo DEG): acos((25+36-49)/(2*5*6)).
Exemplo 2: dois lados e o ângulo entre eles (LAL)
Triângulo com b = 9, c = 12 e ângulo A = 50° entre eles. Qual é o lado a?
a² = 9² + 12² - 2 x 9 x 12 x cos(50°) = 81 + 144 - 216 x 0,6428 = 225 - 138,84 = 86,16.
a = sqrt(86,16) ≈ 9,28. No CalcSim (modo DEG): sqrt(9^2+12^2-2*9*12*cos(50)).
Ainda tem dúvida?
O Professor IA explica passo a passo
Faça uma pergunta em linguagem natural e receba uma explicação personalizada sobre Trigonometria — ou qualquer outro tópico.
Prefere resolver pelo celular?
Baixar o app grátis →Continue aprendendo