Regressão Linear: prever um valor a partir de outro

Regressão linear simples é uma técnica estatística que modela a relação entre duas variáveis quantitativas — uma variável explicativa (X) e uma variável resposta (Y) — por meio de uma linha reta. O objetivo é encontrar a reta que melhor representa a tendência dos dados, permitindo descrever e prever valores de Y a partir de X.

Exemplos práticos: prever o consumo de combustível a partir da distância percorrida, estimar o preço de uma casa a partir de sua área, ou calcular o peso esperado de uma criança com base em sua altura. A regressão não se limita à previsão — ela também quantifica o quanto Y muda, em média, para cada unidade de mudança em X.

A equação da reta de regressão é ŷ = a + bx, onde ŷ (y chapéu) é o valor previsto de Y para um dado X, a é o intercepto (onde a reta cruza o eixo Y) e b é o coeficiente angular (a inclinação da reta).

O coeficiente b é o mais importante para interpretação: indica quanto Y muda, em média, para cada aumento de 1 unidade em X. Se b = 2,5 em um modelo que prevê salário (Y) a partir de anos de experiência (X), significa que cada ano adicional de experiência está associado, em média, a R$ 2,5 mil a mais no salário.

O intercepto a indica o valor previsto de Y quando X = 0. Nem sempre tem interpretação prática — se X é anos de experiência, X = 0 pode ter sentido (recém-formado), mas em outros contextos X = 0 pode ser impossível.

O método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) encontra os valores de a e b que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos — as diferenças entre os valores reais de Y e os valores previstos ŷ. É por isso que a reta de regressão também é chamada de linha de melhor ajuste.

As fórmulas diretas para calcular b e a são: b = [Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)] / Σ(xi - x̄)² e a = ȳ - b × x̄. Note que o numerador de b é a covariância (também presente na fórmula de Pearson) e o denominador é a variância de X.

Exemplo simplificado com 4 pontos: x = {1, 2, 3, 4}, y = {2, 4, 5, 4}. x̄ = 2,5, ȳ = 3,75. Calculando b = 0,7 e a = 1,0. A reta de regressão é ŷ = 1,0 + 0,7x. Para x = 5 (previsão), ŷ = 1,0 + 0,7×5 = 4,5.

O coeficiente de determinação R² mede qual fração da variação total de Y é explicada pelo modelo de regressão. R² = 1 - (soma dos quadrados dos resíduos / soma total dos quadrados). Ele varia de 0 a 1.

R² = 0,80 significa que 80% da variação em Y é explicada pela variação em X através do modelo. Os 20% restantes são explicados por outros fatores não incluídos ou por variação aleatória. R² = 1 seria ajuste perfeito (todos os pontos exatamente na reta). R² = 0 indica que o modelo linear não explica nada da variação de Y.

R² é o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson para regressão simples. Portanto, se r = 0,9, então R² = 0,81, indicando que 81% da variação de Y é explicada por X. Para avaliar se o R² é suficientemente alto, considere o contexto: em ciências sociais, R² = 0,30 pode ser razoável; em engenharia, pode ser insuficiente.