Semelhança de Triângulos: figuras com a mesma forma
Dois triângulos são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Essa ideia está por trás de mapas, escalas e até do cálculo da altura de prédios.
Renato Freitas
Atualizado em 27 de abril de 2026
O que é semelhança
Dois triângulos são semelhantes (símbolo: ~) quando seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Pense em uma foto ampliada: a forma é idêntica, apenas o tamanho muda.
A razão de semelhança k é o fator que relaciona os lados dos dois triângulos. Se o triângulo A tem lados 3, 4 e 5, e o triângulo B tem lados 6, 8 e 10, então k = 2 (o triângulo B é duas vezes maior).
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Os três critérios de semelhança
Não é preciso conhecer todos os lados e ângulos para afirmar que dois triângulos são semelhantes. Três critérios são suficientes:
- AA (Ângulo-Ângulo): se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro, os triângulos são semelhantes. Como a soma dos ângulos é 180°, o terceiro par automaticamente também é igual.
- LAL (Lado-Ângulo-Lado): se dois lados são proporcionais e o ângulo entre eles é igual nos dois triângulos, eles são semelhantes.
- LLL (Lado-Lado-Lado): se os três pares de lados correspondentes são proporcionais (mesma razão k), os triângulos são semelhantes.
Razão de semelhança e áreas
A razão de semelhança k afeta lados e áreas de formas diferentes. Se k = 3 (os lados são 3 vezes maiores), a área é 3² = 9 vezes maior. Isso é importante ao escalar plantas e mapas.
Fórmula: se k é a razão entre os lados, então a razão entre as áreas é k². Exemplo: triângulos com razão de semelhança 1:2 têm áreas na razão 1:4.
Aplicações práticas
A semelhança de triângulos é usada para calcular alturas inacessíveis. Se uma árvore projeta uma sombra de 8m e uma estaca de 1m projeta uma sombra de 2m, os triângulos formados são semelhantes: altura da árvore / 8 = 1 / 2, logo a árvore tem 4m.
Em mapas e plantas, a escala é exatamente a razão de semelhança. Uma escala 1:100.000 significa que 1 cm no mapa equivale a 100.000 cm (1 km) na realidade. O CalcSim IA pode ajudar a calcular essas proporções diretamente na aba Calculadora.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre triângulos semelhantes e congruentes?
Triângulos congruentes têm mesma forma E mesmo tamanho (razão k = 1). Triângulos semelhantes têm mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes. Todo par de triângulos congruentes é semelhante, mas o contrário não é verdade.
Como calcular a altura de um prédio usando sombras?
Meça a sombra do prédio (S1) e a sombra de um objeto de altura conhecida (h2) com sua sombra (S2), no mesmo momento do dia. Como os triângulos são semelhantes: altura do prédio = h2 x S1 / S2. Por exemplo, se uma régua de 1m projeta 0,5m de sombra e o prédio projeta 20m, a altura é 1 x 20 / 0,5 = 40m.
O critério AA é suficiente para provar semelhança?
Sim. Basta dois pares de ângulos iguais. O terceiro par é automaticamente igual, pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Por isso, AA é o critério mais prático e o mais usado em provas.
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